自分の備忘録として、ガンマ関数がなぜ階乗と同値になるのか確認したことを記録する。
ガンマ関数は下記の式で表される。
![\[ \boxed{\Gamma(z)=\int_0^{\infty}{t^{z-1}}{e^{-t}}\,\mathrm{d}t} \]](http://rei-farms.jp/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-644e13744be3da8f629bd3d4816d2315_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ただし、自然数nであれば下記のように一般化される。いわゆる階乗だ。
![\[ \boxed{\Gamma(n)=(n-1)!} \]](http://rei-farms.jp/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e06bd564cc4360eb512f37a951bbbde_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ただ、導出でよく説明される下記式ではわかりにくい可能性がある。
私もわからなかったが、よく見ると部分積分の上手い使い方である。
![\[ \boxed{ \Gamma(n)=\int_0^{\infty}{t^{n-1}}{e^{-t}}\,\mathrm{d}t } \]](http://rei-farms.jp/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de1b4234dd74395d359b748d4dc0bea2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \boxed{ =\,[-t^{n-1}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}{\{-(n-1)t^{n-2}e^{-t}\}\mathrm{d}t} } \]](http://rei-farms.jp/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b8ff106d6ce17f9645db5c068c4a7c35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
そして、左辺は0、右辺は下記で表される。
![\[ \boxed{ (n-1)\Gamma(n-1) } \]](http://rei-farms.jp/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9af2b35f57285bb74baaf0a0d682a1c8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
そこにΓ(1) = 1となることを利用して計算してみると、
Γ(2) = 1 = 1!
Γ(3) = 2 = 2!
Γ(4) = 6 = 3!
Γ(5) = 24 = 4!
続く…
となる。
とりあえずこうなることはよくわかった。
ただ、実際の積分について理解が不足していると分かり辛い…。
では実際にz=1から導出してみよう。
使う知識は部分積分のみである。
z=1
![\[ \boxed{ \Gamma(1)=\int_0^{\infty}{t^{0}}{e^{-t}}\,\mathrm{d}t\ } \]](http://rei-farms.jp/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-683bcc3b69f014607b1cab521ed6b0a2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \boxed{ =\,[-e^{-t}]_0^{\infty}\,=\,(-e^{-\infty})-(-e^{-0})\,=\,1 } \]](http://rei-farms.jp/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7e0d5eae1b32899c4e7a0b0dabd1402b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
左が0、右がeの0乗=1となるので、1になる。
z=2
![\[ \boxed{ \Gamma(2)=\int_0^{\infty}{t^{1}}{e^{-t}}\,\mathrm{d}t\, =\int_0^{\infty}{t^{1}}({e^{-t}})'\,\mathrm{d}t } \]](http://rei-farms.jp/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f6fb7bacd4543f5d56313c68eb649abd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
部分積分の形式にする。
![\[ \boxed{ \int_0^{\infty}{t^{1}}({e^{-t}})'\,\mathrm{d}t =\,[-t^{1}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}{1t^{0}e^{-t}}\/\mathrm{d}t } \]](http://rei-farms.jp/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5672ebc4eb9f291875190998abd89cc6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
右辺右の式をよく見ると、Γ(1)の式である。
これを愚直に計算すると、
![\[ \boxed{ =\,-(0-0e^{-0}) - (e^{-\infty}-e^0)\,=\,1 } \]](http://rei-farms.jp/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-680a866555fb8db59deeec2c045686f7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
続いて、
z=3
![\[ \boxed{ \Gamma(3)=\int_0^{\infty}{t^{2}}{e^{-t}}\,\mathrm{d}t\, =\int_0^{\infty}{t^{2}}({e^{-t}})'\,\mathrm{d}t } \]](http://rei-farms.jp/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-465d2fd4e1a9112dc4cbf0af233de857_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
部分積分の形式にする。
![\[ \boxed{ \int_0^{\infty}{t^{2}}({e^{-t}})'\,\mathrm{d}t =\,[-t^{2}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}{2t^{1}e^{-t}}\/\mathrm{d}t } \]](http://rei-farms.jp/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-377d48e53f30440e8024020b95429ef5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
右辺右の式をよく見ると、Γ(2)の式×2である。
結果は1×2となり、2!と同値となる。
微分の性質から、
z=4であれば、Γ(3)×3=3!
![\[ \boxed{ \int_0^{\infty}{t^{3}}({e^{-t}})'\,\mathrm{d}t =\,[-t^{3}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}{3t^{2}e^{-t}}\/\mathrm{d}t } \]](http://rei-farms.jp/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3c2087bc17b63fa58c84ad2f8b40569f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
z=5であれば、Γ(4)×4=4!と同値となる。
![\[ \boxed{ \int_0^{\infty}{t^{4}}({e^{-t}})'\,\mathrm{d}t =\,[-t^{4}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}{4t^{3}e^{-t}}\/\mathrm{d}t } \]](http://rei-farms.jp/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-82569b1415cfe77b8bda38702ab8c667_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
そのため、ガンマ関数Γは以下のように表される。
少しすっきりしました。